群论——数学家开拓性认识世界的结晶-光岗

昨天（1月8号）国家科学技术奖励大会召开，颁发了2018年度国家自然科学奖，数学方面有三个二等奖。考虑到一等奖只有一名，授予了物理学方面的量子反常霍尔效应实验团队，二等奖应该算非常高的奖项了。三个获奖的数学领域分别为动力系统，群表示论和向量最优化。按照哆嗒数学网的评论，第三个向量优化问题，似乎有一些争论，估计有人质疑这个方面的水平，伟岗没有具体研究，还没有发言权。这里来聊一聊群论，这又是我们一般人没有好好理解的数学分支。

大家好，伟岗有很久没有跟大家聊数学了，主要是因为懒惰，也请大家原谅！目前伟岗开了一家网店，店铺名叫伟岗飞镖，专卖哈路士英国原装进口的飞镖，这里先做个广告。哈路士飞镖，是世界顶级品牌，有兴趣的朋友同学别忘了跟伟岗联系。可以在淘宝上搜伟岗飞镖，也可以直接跟伟岗联系，谢谢了！

这次获奖的数学项目名称是典型群表示论，获奖的数学家叫孙斌勇，是中科院数学研究院的。具体内容，伟岗还没有找到原文，不过群论也是伟岗在数学学习中遇到最大问题的分支，这里跟大家谈谈体会。

群表示论最早引起数学家重视是因为证明费马大定理的怀尔斯。他用精妙的群表示法结合椭圆函数，解决了一个困扰数学家300多年的大难题：费马最后猜想。使得费马最后猜想变成了费马最后定理，完成一项壮举。也把费马对数学的贡献画上了一个完美的句号。怀尔斯的证明可以说独具匠心，在他的论文发表之前，谁也不会想到一个方程的无解，竟然跟椭圆函数和群表示论有这么深的逻辑关系。虽然在怀尔斯之前，有谷山—志村猜想，把费马猜想的证明跟椭圆函数联系起来，但是要不是怀尔斯的证明，数学家一致的意见是谷山—志村猜想跟费马猜想一样难证明。也就是说，虽然费马猜想涉及的方程无解跟椭圆函数的模形式有联系，但两个猜想都难证明，所以两者的联系到底在哪里，也很难确定。只有证明了其中一个猜想，两者的关系才算确定下来。如果最终证明其中一个猜想不成立，那么两者的关系就无法定义了，个中的逻辑关系，大家可以细细体会一下。

怀尔斯的证明引发了数学家对群表示论的探讨，当时开了很多研讨会，主要是为了消化怀尔斯的证明。总体来讲，怀尔斯的证明跨度太大，可以说到了26年后的今天（怀尔斯是1993年发表他对费马大定理证明的），数学家还在摸索之中，至少目前还无人超越怀尔斯，孙斌勇的这次大奖有没有在数学上的突破，目前伟岗还无法判断。不过既然把大奖发给了孙先生，说明他在这方面还是有体会。

一个对数学好奇人肯定会问，那么什么是群表示论？什么叫典型群（注意到孙斌勇获奖项目的题目是典型群表示论）？这两个问题的回答，就必须从理解群这个数学概念开始。

从大的，粗略的方面讲，群是数学抽象的开始。当你从高中毕业，初等数学过关，再往前面学，微积分线性代数以及概率论遇到的阻力还不会很大。但是你如果真正爱好数学，或者说想把数学研究当成职业，甚至有成为数学家的理想，接下来的抽象代数和函数论将是两个大的门槛。而抽象数学就是研究的群。从另一方面讲，如果你很好地理解了群，初等数学就根本不在话下。可以说你数学水平就上了一个档次。所以，很多家长总是担心自己小孩的数学素养不好培养，其实只要让小孩去理解探究群这方面的数学知识，他的数学水平和素养肯定会大大提高。

那么到底什么叫数学意义上的群呢？这个问题还真不好直接回答。这也是学习抽象代数的难点之一。翻开抽象代数的教科书，你看到的是群就是满足4个条件的一组元素的集合。即所谓封闭性，结合律，单位元和逆元。单从这四个条件看，其实还理解不了群。你接着看数学教科书，它开始展示群的一系列运算和变换规律，你肯定会有一种云里雾里的感觉。这时学数学很容易陷入似懂非懂的境界。你觉得你读懂了教科书上的内容，书上的练习题也基本会做。但是跳出教科书，你会有一种很无助的感觉，你无法深入地思考，无法得出自己的想象。你甚至会觉得学数学太无聊，就是拿些表达式变来变去，既没有意义，又很难深入下去，最终你可能会得出结论，你不适合学数学，从而放弃，这是非常可怕的。

其实，学数学要掌握大的脉络，了解数学知识的来龙去脉，这样你学的东西才会生动起来。对于学初等数学，甚至对于学微积分线性代数等数学内容来讲，不关注大的脉络还影响不大，毕竟那些数学知识难度不大（对于掌握基本知识来说，不算那些难题偏题），你就靠死磕，一遍一遍的看数学家教科书和刷题，一样可以把初等数学学得很好，但是到了群这个层面，这些招数就不灵了。你会有抵触情绪，这个就阻止你继续学好数学。

而且，从另一方面讲，如果靠研究大的脉络学数学，你初等数学就可以学得非常轻松。而且感到学数学非常有趣。所以说，学数学史和读数学故事对学数学是非常重要的。

还是回到群这个话题，抛开群抽象的定义，你第一要知道的就是，其实群是研究数的结构，而不是研究具体的数和运算。这句话怎么理解呢？

简单地讲，在群之前，或者说群其它的数学领域，研究集中在具体的数，也就是1,2,3,。。。等各类型的数，或者即数使用字母代替，比如x,y,z,…，这些字母也是一些具体数的表达形式。同时通过各类运算（包括加减乘除，微积分等），数学家可以得出一些结论，包括一些数的具体数值（比如方程的解），还有数的分布（数的统计规律），以及数的范围（比如不等式方式表达的变量）等等。从这些跟具体数和运算有关的结论中，数学家提出了对问题解决或者说对自然界现象分析的结论。比如行星的运动轨迹，国民的收入等，这些就是对具体数和运算的数学研究领域。

群论则不同，群论不研究具体的数和运算，只研究一组元素和运算打包后的性质。这有点像造房子，把元素和运算集中起来，变成了砖头，数学家开始研究整个大厦，也就是砖头形成的结构。所以说群论研究结构，不研究数和运算。这样做的好处是，数学家可以忽略一些数和运算的细节，整体分析一组元素和运算通过一些变换形成的结果。这样做有时候是必须的，因为数学家遇到了具体运算和数无法解决的难题，最早的就是五次及以上的代数方程无根式解的问题。

确定一个方程无解最容易的方法就是找到这个方程的解，可以说为了找到5次及以上代数方程的根式解，无数数学家献出了毕生的精力，结果都无功而返。无数人的牺牲才使得数学家慢慢觉醒，开始怀疑这个根式解存不存在？从16世纪的卡丹公式，数学家完美给出了三次方程的根式解，一直到了19世纪一个天才的出现，才真正解决5次及以上方程根式解问题，这个天才就是伽罗华。其间也过了漫长的300多年。

5次方程没有根式解就是一个通过研究具体运算和具体数没有办法解决的问题。法国数学家达朗贝尔花了很多心血，企图用具体计算的方法解决这个解的问题，但是失败了。阿贝尔，另一个英年早逝的数学天才，可以说用具体运算推导证明了5次方程没有根式解。但是伽罗瓦提出的群论比阿贝尔的证明就深邃得多，伽罗瓦理论甚至可以得出5次方程有没有根式解的充分必要条件，这个阿贝尔的证明是没有完成的。

群论的精髓可以说由伽罗华提出，又由他精妙地应用。虽然伽罗华只有短暂的21年生涯，数学上也就两篇惊世骇俗的论文，然而由他提出的群论思想以及5次方程根式解问题，可以说是数学划时代的发明，有的数学家甚至把群论跟微积分的发明相提并论，这虽然有点言过其实，但也说明群论的重要。

讲得稍微具体一点，以让大家管中窥豹，知道一些群论的奥秘，伽罗华把代数方程的解以及跟解有同样结构的数（群论中叫同构）组合在一起，形成一个群（也就是说满足前面讲的4个条件）。通过研究这个群，也就是说，把这些群进行一些变换，如果这个群能变换成可解群，那么方程就有根式解。但是，通过伽罗华的证明，有很多5次及以上方程解的同构群没有办法变换成可解群，所以5次及以上方程就没有根式解。

这段话有很多地雷要排除，首先什么叫可解群？其次，什么样的变化可以说不能把一个群转换成另一个群？再就是什么叫同构？还有就是，方程的解都找不出来，怎么找到解的同构？最终可能有的同学还会问，什么叫方程没有根式解？不要以为这个问题简单，真正知道这个问题答案的有几个？

今天也写得够多了，伟岗卖个关子。下一篇试着回答上面的问题，这些问题都有难度，伟岗的理解很可能有偏差甚至错误，这里提前请大家批评指正。

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